Hangi Matematik
Bayram Yenikaya
 


Aristo kapısına “matematik bilmeyen giremez” yazısını asmıştı. Bununla matematik bilmeyenlerin kendisini anlamayacaklarını mı kasdetmiş, yoksa sadece insanları matematik öğrenmeye teşvik etmek mi istemişti, bilemiyoruz. Ancak o zaman bile matematiğe değer verildiğini anlıyoruz. Milattan çok önce yaşamış olan Pisagor’un, geometrik şekiller üzerinde çalışırken keşfettiği dik üçgen teoremi bugüne kadar tazeliğini korumuş olup, bugün de aynı teorem öğretilmektedir. Her asırda gelen insanların bir şeyler eklemesiyle sürekli gelişen matematik, bugünkü muazzam şeklini almıştır. Globalleşen dünyadan bu bilim de nasibini almış ve matematik dünyanın her yerinde insanların çalıştığı evrensel bir dil olmuştur. Çoğu Öğrencinin baş belâsı olarak gördüğü matematiğin, ne olduğu ve nereden çıktığı hususunda mevcut iki görüşten biri Eflatuna kadar uzanmaktadır. Bu görüşe göre matematik insanlardan bağımsız olarak kâinatta mevcuttur. İnsanlar onu keşfederler. Bu görüşü savunan insanlara Eflatuncu denmektedir. Diğer görüşe göre ise; matematik insan beyninin bir ürünüdür, keşif değil bir icattır. Bu düşüncedeki insanlara da formalist denir, Eflatunculuk ve formalizme matematiğin iki farklı okulu veya ekolü nazarıyla bakılabilir.

Bu iki düşünce arasındaki farkı anlamak için bir misal üzerinde duralım: “Sonsuz tane asal sayı (kendisi ve birden başka böleni olmayan) vardır” ifadesi matematik açısından ya doğrudur veya yanlıştır. Bundan binlerce yıl önce yaşamış olan Öklit’in yaptığı zekice ispattan bu yana bunun doğru olduğunu biliyoruz. Bu noktada Eflatuncular şunu derler: “Biz asal sayıları henüz bilmiyorken, asal sayılar vardı ve sonsuz taneydi. Onların sonsuz tane olduğunu sonradan keşfettik.” Formalistler ise, bizim asal sayıları tanımlamamızdan önce, onların sonsuz olup olmadığını düşünmenin mânâsız olduğunu ifade ederek, onların bizim tanımlamamızla ortaya çıktığını düşünürler.

SAYILAR NE DİYOR?

Formalistlerin karşısına çıkan ilk ciddi problemin sayılar olup, ilk olarak sayma işleminden ortaya çıktığını biliyoruz. Saymayı bilmeyen çobanın koyunlarının her biri için torbasına bir taş koyduğu ve her koyununu bir taşla eşleştirerek kaybolan koyun olup olmadığını tespit ettiği hikayesini çok duymuşuzdur. Sonradan sayılara isimler verildi. İki eldeki parmaklara göre 10’luk sayma sistemi ile hesap yapmak, insanlara daha kolay geldi (Aslında 10’luk, 3’lük veya 4’lük sayı sistemi kullanmanın sağladığı herhangi bir kolaylık yok). Daha sonra insanlar toplama ve çıkarma işlemlerini kullandılar ve böylece aritmetiğin temelleri atıldı. Formalistler, toplama ve çıkarma gibi basit işlemlerin bile kâinattan bağımsız olarak bazı aksiyomlara dayanan mantık kurallarından ibaret olduğunu iddia ederler. “Biz belli kuralları belli sembollerle ifade ederek aritmetik yapıyoruz” derler. Yani fiziki dünyada ne anlama geldiğini bilmediğimiz “ 5” sembolüyle, yine ne ifade ettiğini bilmediğimiz “ 7” sembolünü alıp ikisi arasına, anlamını bilmediğimiz “+“ işaretini koyarak bunların en sağına da “=“ işareti yazınca, elimizdeki aksiyomlara ve mantık kurallarına dayanarak, en sağa “ 12” sembolünü yazmamız gerektiğini biliyoruz. Aynen bir hesap makinesinin hiçbir şey anlamadan bu işlemleri yapması gibi. Şimdi bizim toplama işlemini dünyadaki mevcudattan tamamen bağımsız, sadece aksiyomlara dayalı olarak tanımladığımızı düşünelim. Birisi gelip de bizim sembolik sayılarımızı, dünyadaki koyunların sayısını ifade etmede kullansa ve “+” işaretine de koyunları birbirine katma manasını yüklese, sonra da “5 koyun, 7 koyun daha, 12 koyun yapar” dese biz bunu bir mucize olarak karşılarız. “Bizim kendi kafamızda tanımlayıp yaptığımız bir işlemin meğer dünyada tam karşılığı varmış” deriz. Hele bu kişi: “5 taş, 7 taş daha, 12 taş yapar” derse meselenin koyunlardan ibaret olmadığını kâinattaki bir hakikati ifade ettiğini anlarız. Zihinlerde rahatlıkla anlaşılması için, bu misali verdik. Aynı şekilde matematikteki çok karmaşık bir teorinin kâinatta karşılığının olduğunu görünce, bu beklenmedik hadise karşısında şaşkınlığa düşeriz. Ünlü fizikçi Paul Davies’in ifadesiyle eğer biz farklı fizik kurallarının geçerli olduğu bir kâinatta yaşasaydık, mesela sayılabilir nesnelerin olmadığı bir mekânda, bugün yaptığımız pek çok hesaplamayı yapamazdık. Bunu açıklayıcı mahiyette Oxford fizik-matematikçisi David Deutsch, saymanın tecrübeyle ortaya çıkan bir özellik olduğunu, yani belli mantık kurallarının haricinde dünyadaki mevcudatın durumundan kaynaklandığını belirtiyor. “Zihnimizde şekillenen aritmetiği yapabilmemizin tek sebebi, fizik kanunlarının aritmetiğe uygun fizik modellerinin mevcudiyetine müsaade etmeleridir” demektedir.

Einstein’dan sonra en büyük fizikçi olarak kabul edilen Richard Feynman, matematiğin varlığı hakkında şunları söylüyor: “Varlık problemi çok ilginç ve çok zor bir problem. Eğer matematik yapıyorsanız, sayıların küplerini toplayınca çok ilginç bir özellik keşfedersiniz. Birin kübü 1, ikinin kübü 8 ve üçün kübü 27’dir. Bu sayıları toplarsanız 36 sayısını bulursunuz. 1,2 ve 3’ün toplamı 6, 6’nın karesi ise 36’dır. Bu sayılara 4’ü eklerseniz ki, 4’ün kübü 64’tür, küplerinin toplamı 100 yapar. Bu sayıların toplamı ise 10’dur. Görüldüğü gibi 100, 10’nun karesidir. Bu özelliğin bütün sayılar için geçerli olduğunu ispatlayabiliyoruz. Bu özelliği daha önceden bilmiyor olabilirsiniz. Böyle şeyleri keşfettiğiniz zaman bunların sizin keşfinizden önce de var olduğunu hissediyor ve bir şekilde bir yerlerde var olduğunu düşünüyorsunuz. Ama nerede vardı? Onların mevcudiyeti için tabii ki bir mekân tayin edemeyiz. Sadece mücerret (soyut) bir kavram olarak hissediyoruz.”

Feynman’ın en çok ilgisini çeken formül ise;
e ip +1=0
formülü... Feynman not defterinden bir sayfayı bu formüle ayırmış. Sayfanın ortasında, neredeyse sayfanın yarısını kaplayacak kadar büyük harflerle bu formülü yazmış, yukarısına da büyük harflerle “İşte matematikteki en kayda değer formül” notunu düşmüş. Peki, bu formülü kayda değer kılan şey ne? “e” sayısı “Logaritma”dan geliyor; logaritması “ 1” olan sayı. “p ” (pi) sayısı da “Geometri”den, bir çemberin çevresinin çapına oranı. “i” sayısı ise tamamen başka bir dünyadan “Karmaşık Sayı Sisteminden geliyor; karesi (-1) olan sayı. “1”i bilmeyen yok, “ 0” ise, onsuz matematiğin olamayacağı bir sayı. Bu sayıların hepsi matematiğin en meşhur sayıları ve her biri matematiğin birbirinden tamamen alâkasız konularında karşımıza çıkıyor. Araya başka bir araç koymadan bu sayıları birbirleriyle alâkalandıran yukarıdaki formül karşısında hayranlığını belirten Feynman bu konuda pek haksız sayılmaz.

Bugün sayılarla ilgili dünya kadar özellik ortaya çıkarılmış durumda. Bu özelliklerin doğruluğu bizim keşfetmemizle başlamadı, onlar daha önce de doğruydu. Tıpkı suyun, Arşimet’in keşfinden önce de nesneleri kaldırması gibi.

Bu hususta büyük fizikçi Heinrich Herzt: “Hiç kimse bulunan matematik formüllerinin bizden bağımsız olarak var oldukları hissinden kurtaramaz kendini” diyorsa da, bulduğumuz formüllerin bizden önce de var olduklarını biliyoruz. Ancak Feynman’ın ifadesiyle bunlara bir mekân tayin edemiyoruz. Matematikçi Rudy Rucker, bildiğimiz fizik uzayının haricinde bir de “Zihin Uzayı” (Mindscope) diyebileceğimiz bir uzayın mevcudiyetini, fizikçilerin fizik uzayını araştırması gibi matematikçilerin de bu zihin uzayını araştırdığını savunarak matematikteki gerçekler için soyut bir mekân tayin etmiş oluyor.

MATEMATİKÇİLER NE DİYOR?

Çoğu seçkin matematikçi, Eflatuncu’dur. Bunlardan biri Kurt Gödel’dir. Gödel’in çalışmalarından önce matematiğin tamamen bir biçim çalışması, bir kümedeki sembollerle diğer bir kümedeki semboller arasında kurulan bir mantık kuralları topluluğu ve insan beyninin bir fonksiyonu olduğuna inanmak mümkündü. Ancak Gödel çalışmalarıyla daha farklı bir şekilde düşünmemizi sağladı. Gödel’in çalışmalarının en önemli kısmını şu şekilde özetleyebiliriz:

“Matematik ne kadar gelişirse gelişsin, mevcut aksiyomlarla doğruluğu ispatlanamayan, fakat doğru olan, matematik ifadeleri her zaman vardır.”

Böylece biz ispatlamadan önce bazı gerçeklerin varlığını kabul etmiş oluyoruz ki, bu bizi Eflatunculuk düşüncesine sürükler.

Bir diğer Eflatuncu, ünlü Oxford matematikçisi Roger Penrose’dur. “Bu matematiğe ait kavramlarda matematikçilerin düşüncelerinin ötesinde cereyan eden bazı derin hakikatler var. İnsan düşüncesi var olan bu ebedi hakikatlere yönlendiriliyor ve bunlar herhangi birimiz tarafından matematiğe ait bir gerçek olarak ortaya çıkarılıyor.” Mesela; kompleks sayılar. Penrose, kompleks sayıların “çok derin ve zaman üstü” bir gerçek olduğunu insanların ise tarihin belli bir devresinden sonra bu sistemi keşfettiğini belirtiyor. Penrose’u Eflatuncu olmaya zorlayan ikinci sebep ise “Mandelbrot kümesi”dir. Bu küme insanı hayrete düşürecek derecede enteresan olan “fraktal” dediğimiz geometrik bir şekildir. Bu şekil şöyle elde edilir. Herhangi bir Z karmaşık sayısını alıyoruz, C bir karmaşık sayı olmak üzere Z’nin karesine C eklemek suretiyle yeni bir sayı elde ediyoruz. Bu yeni sayının karesine C ekleyerek başka bir sayı buluyoruz ve bu işleme sürekli devam ediyoruz. Bilgisayar ekranındaki her nokta için bu işlemi yapınca, bazı noktaların belli bir basamaktan sonra 4 birim yarıçaplı çemberin dışına çıktığını görüyoruz. Her nokta kaçıncı adımdan sonra çemberin dışına çıkıyorsa o sayıya o noktanın özel sayısı diyelim. Bu özel sayıları renklerle eşleştirebiliriz. Mesela sıradan bir bilgisayarda özel sayısı tek sayı olan noktaları beyaza, çift sayı olan noktaları siyaha boyayarak siyah beyaz bir görüntü elde edebiliriz. Veya daha gelişmiş bilgisayarlarla daha renkli görüntüler elde edebilirsiniz. (Ön sayfadaki fraktallere ait görüntüler gibi) Bu görüntünün özelliği sürekli kendini tekrarlamasıdır. Herhangi küçük bir kesitini alıp büyütürsek ilk baştaki şekli elde edebiliriz. Hiçbir bilgisayar, ekrandaki her nokta için bu işlemi yapamaz. Sadece ekrandaki piksel dediğimiz her küçük kare içinden bir nokta alıp deneyerek o karenin rengini tayin eder. Buna dayanarak Penrose: “Mandelbrot kümesinin şeklini hiçbir zaman tam olarak anlayamıyor ve çizemiyoruz. Daha gelişmiş bilgisayarlar kullanarak her seferinde biraz daha iyi anlamaya çalışıyoruz. Anlayamadığımız bu küme insan beyninin bir ürünü olamaz. Bu küme bizden bağımsız olarak vardır. Everest tepesi gibi... Biz onu keşfettik” diyor.

ÇİÇEKLERİN MANTIĞI

Ünlü matematikçi Leonardo Fibonacci’nin ortaya attığı Fibonacci dizisini bilmeyen yoktur. Bu dizi 1,1, 2,3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 şeklinde devam etmektedir. Dizinin her terimi kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Ayçiçeğinde bulunan çekirdeklerin oluşturduğu spiralleri sayınca saat yönünde olanların 55, saatin ters yönünde olanların ise 89 tane olduğunu görüyoruz. Her iki sayı da Fibonacci dizisinin birbirini takip eden terimleridir. Bu sayılar ayçiçeklerinin çeşitlerine göre değişmektedir. Mesela küçük başaklı bir çeşidin spirallerini sayınca 34 ve 55 sayılarını elde edebilirsiniz, veya büyük başaklı bir çeşit size 89 ve 144 sayılarını verebilir. Ancak değişmeyen bir şey var, bu sayıların hepsi Fibonacci dizisinin ardışık iki terimini veriyor. Çam kozalağında ise spirallerin sayısı 8’e 5’tir. Aynı sayıların tütün yapraklarının dizilişinde de karşımıza çıktığını görüyoruz. Bir başka hayret uyandırıcı özellik de, çiçeklerin taçyapraklarının sayısında karşımıza çıkıyor. Zambakta 3, düğün çiçeğinde 5, kadife çiçeğinde 13, yıldız çiçeğinde 21 ve papatyalarda türüne göre 34, 55 veya 89 tane taç yaprak bulunuyor. Eğer ayçiçeğinin veya çam kozalağının DNA’sı spirallerinin sayısı için ve diğer çiçeklerin DNA’sı da taç yaprakların sayısı için, rastgele sayılar tayin etti ise; niçin bu sayılar, Fibonacci dizisinin elemanlarına denk geliyor? Fibonacci sayıları nasıl oldu da bu güzel çiçeklerin taç yapraklarına işlendi? Acaba insan gözüne daha hoş görünmesi için mi gerekliydi? Fibonacci dizisinin peşpeşe gelen terimlerinin oranı “altın oran” dediğimiz:
(Ö 5-1)/2
sayısına yaklaşıyor ve bu oran klasik sanatta insan gözüne en hoş görünen oran olarak biliniyor. Ya çiçeklerin matematikten de, insanın göz zevkinden de anladığını iddia edeceksiniz veya bu ikisinden de anlayan gizli bir elin işlediğini düşüneceksiniz. Çiçeklerdeki bu beklenmedik özellik gösteriyor ki, Fibonacci her ne kadar bu diziyi kendi kafasından çıkardıysa da, aslında zaten var olan bir diziyi keşfetmiştir. Hem de sadece mücerret dünyada değil, müşahhas dünyada dahi misalleri bulunan bir diziyi. .



Bu bölüm 5636 defa görüntülenmiştir.