Basri ÇELİK
 

Birçoğumuzun matematikle alâkası, sadece tahsil hayatımızda gördüğümüz derslerle sınırlı kalmıştır. Bir kısmımız mecbur olduğumuz için, bir kısmımız da ilgi duyduğu veya kabiliyeti olduğu için matematiği sevmiş olabilir. Fakat büyük çoğunluk, matematiğin hayatlarında pek kullanılmadığını veya kabiliyetlerinin ve çalışma alanlarının farklı olduğunu bahane edip matematiğe çekingen bir tavırla yaklaşır. Hattâ bir kısmımız, matematiği pek sevmez.

İlk bakışta cebir, geometri, logaritma gibi adlarla alt bölümlere ayırdığımız matematiği zor bir ders kabul etsek de, farkında olmadan hayatımızın birçok alanında kullanıyor olmamız ve felsefenin ilk dönemlerinden itibaren "bütün ilimlerin anası" olarak kabul görmesi sebebiyle üzerinde durulmaya değer bir alandır.

İnsanlar eşya ve hadiseleri yorumlarken, hayat karşısındaki duruş ve düşüncelerini yenilerken aslında hep matematiğin verileriyle hareket eder. Aşağıda anlatacağımız "aksiyom" ve "teorem" bunun en açık misalleridir. İşte bizler, matematiğe biraz da "matematik felsefesi" diyebileceğimiz bu zaviyeden bakabilirsek, onun çekinilecek bir saha olmadığını daha rahat kavrarız.

Matematiğin temelini tanımlar teşkil eder. Aslında bir bakıma bütün bilimlerin temeli tanımlardır. Kullandığımız şeylerin ne olduğu (ne işe yaradığı, hangi özelliklerinin olduğu) tanımlarla ifade edilir. Matematik üzerine çalışma yapan öğrencilerin çoğunun tanımları hararetle tartıştığını çok sık görürüz. Bunun sebebi tanımlardaki küçük bir değişikliğin veya küçük bir yanlış anlamanın, pek çok şeyin değişmesine ve dolayısıyla yanlışların doğru ve doğruların yanlış olarak ortaya çıkmasına yol açabilecek olmasıdır.

Bir şeyin tarifini yaparken başka şeyleri kullanmak gerekir. Meselâ 'masa'nın tarifini yaparken 'tahta' veya 'metal' gibi pek çok kavramı kullanmamız gerekir. Bu durumda 'Tahta nedir?' veya 'Metal nedir?' sorularıyla karşılaşırız. Yani, henüz o an için tanımsız olan nesneleri tarif edip onların ne olduklarını öğrenmek isteriz. Tahtayı tanımlarken ağacı, metali tarif ederken de madeni kullandığımızda bu defa bunların ne olduğu sorusuyla karşılaşırız. Bu sorular böylece devam edip gider. Peki nereye kadar gider? Bir dilde sonsuz sayıda kelimenin bulunması imkânsızdır. Bir tanım yapmak için peş peşe gelen soruların cevabını ararken, sonlu sayıda olan bütün kelimeler tükendiğinde ne olacak? Günlük hayatta böyle peş peşe gelen sorularla karşılaştığımızda, "Ee, bunu da bil artık!" deyip bir yerde tanımlamayı keseriz. Yani gelinen son noktada, doğruluğunu ve ne olduğunu sorgulamadan bu kavramın herkes tarafından bilinmesini isteriz.

Matematikte de doğruluğu sorgulanmadan kabul edilen bazı gerçekler vardır ve bunlara "aksiyom" adı verilir. Matematiğe katkıda bulunmak, hayret uyandıracak sonuçlara götürecek tarif ve aksiyomları düzenleyebilme kabiliyetine bağlıdır. Matematikte doğru bir hükmü bildiren ifadelere "teorem" denir. Tabii ki ilk önce bu ifadenin teorem olduğu bilinmemektedir. Tanım ve aksiyomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teoremdir. Doğru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere "önerme" denir. Bu duruma göre teoremler doğru olan önermelerdir. Teoremi ve önermeyi tanımladıktan sonra, aslında teoremin "doğru bir hüküm bildiren önerme" olduğunu elde ettik; p ve q belli bir takım önermelerin teşkil ettiği topluluklar olsun. Teoremler genellikle p doğru olduğunda q'nun da doğru olduğu biçimindedir ve bu kısaca p=>q biçiminde gösterilir. Biraz matematiğin önermeler konusunu bilenler p=>q'nun doğru olmasının sadece p'nin doğru olması durumunda değil, p'nin yanlış olması durumunda da mümkün olduğunu bilirler. Fakat teoremlerdeki p=>q gösterimi sadece p doğru olduğunda q'nun da doğru olduğunun gösterileceği anlamındadır. Meselâ p önerme topluluğu p1, p2,...pn ve q önerme topluluğu q1, q2,...qm önermelerinden meydana geliyorsa, p=>q önermesi p1, p2,...pn önermeleri doğru iken, q1, q2,...qm önermelerinin de doğru olduğunu ifade eder. Bir teoremin doğru olduğunun gösterilmesine teoremi ispat etme denir. Teorem ispatlanırken matematik zekâsı ön plâna çıkar. p1, p2,...pn önermeleri ve daha önce verilen tanım ve aksiyomlar harmanlanarak q1, q2...qm önermeleri elde edilmeye çalışılır. p'yi doğru olarak kabul edip q'nun doğru olduğunu göstermede takip edilecek yol, yani teoremi ispatlamanın yolu, tek değildir. Hattâ iki farklı kişinin p'den q'yu elde ederken kullanacağı tanım ve aksiyomlar baştan sona farklı olabilir. Bu bir bakıma p noktasından q nok-tasına gitmenin bir benzeridir.

Yukarıdaki şekilde p'den q'ya iki farklı yoldan gidilmiştir. Birinci yolda p doğruyken a1'in doğru olduğu, a1 doğruyken a2'nin doğru olduğu, a2 doğruyken a3'ün doğru olduğu, a3 doğru iken a4'ün doğru olduğu ve a4 doğru iken q'nun doğru olduğu gösterilmiş ve böylece p doğru iken q'nun da doğru olduğu elde edilmiştir. İkinci yolda p doğruyken b1'in doğru olduğu, b1 doğruyken b2'nin doğru olduğu ve b2 doğruyken q'nun doğru olduğu gösterilerek p doğru iken q'nun da doğru olduğu bulunmuştur. Burada hangi yolun teoremin ispatı için daha iyi olduğunu tartışmak anlamsızdır. "Her yiğidin bir yoğurt yiyişi vardır." atasözü bu durumu açıklar. Kimine göre çok kısa olan bir yol başka birine göre çok uzun gelebilir. p'den bl elde edilirken kullanılan sonuçlar bilinmiyorsa, p=>b1 önermelerinin doğru olduğunu göstermek gerekir. Bu durum benzer biçimde diğer adımlara da aksedeceğinden birinci yolu iyi bilen birisi için ikinci yol daha da uzun olabilir.

Matematikte tanımlar kesindir ve doğrulukları tartışılmaz, aksiyomların da doğruluğu tartışılmaz ve kabul edilir. O zaman tanım ve aksiyomları, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen ifadeler olarak ele alırsak, matematiğin kaynağını kurmuş oluruz. Matematik, doğruluğu kabul edilen birtakım ifadelerden bulunabilecek bütün doğru ifadeleri bulmak için çalışır, yani bütün teoremlerin bulunması, matematiğin ve matematikçinin işidir. Bu anlamda matematik hem mücerret hem de müşahhas olarak yapılabilir. Meselâ; A1 ,A2 ,... Ak gibi k tane aksiyom ve bunları doğru kabul edip bunlar yardımıyla bulunabilecek bütün doğruları araştırmaya başlarsınız. Bulunabilecek bütün doğruların tamamına ulaşamasanız bile ulaştığınız kadarıyla matematik yapmış olursunuz. Burada kullandığınız A1 ,A2,... Ak aksiyomlarının doğruluğu asla tartışılmaz ve bunların doğru olduğu kabul edilir.

Hayatta da bazı şeylerin bilindiğini kabul etmek gereklidir. Daha önce belirttiğimiz gibi kabul edilmiş gerçekler olmadığı takdirde masa tanımını bile vermek mümkün değildir. İşte size iki soru ve bu soruların cevaplarını aramakta müşahhas matematiğin bir örneği:

1. Hayatta doğru olarak kabul ettiğimiz gerçekler (hayatın aksiyomları ve tanımları) nelerdir?

2. Hayatın aksiyomları kullanılarak elde edilebilecek bütün neticeler nelerdir?

Bu soruların cevaplarını bulmak için, yani bir bakıma hayatın matematiğini kurmak için, hayatın değişmeyen ve doğruluğu tartışılmadan kabul edilen gerçeklerine, kısacası hayatın aksiyomlarına ulaşmak şarttır. İnsanların koyduğu kanunlar, kaideler ve yönetmelikler zaman içinde değişmez mi? Bunlar her zaman doğru olabilirler mi? Cevabımız tabii ki "hayır" olacaktır. Çok değil, bundan elli yıl önceki kanunların, yönetmeliklerin ve kaidelerin pek çoğu bugün ilk çıktığı haliyle değildir, zaman içerisinde üzerlerinde birtakım değişiklikler yapma ihtiyacı hissedilmiştir. Şu da âşikârdır ki, elli yıl sonra da günümüzdeki kanun, yönetmelik ve kaidelerin pek çoğunda yine birtakım değişiklikler yapılacaktır. Belli bir zaman önce suç teşkil eden bazı faaliyetler, bir süre sonra suç olmaktan çıkabilmektedir. O halde hayatın aksiyomları olarak insanların koyduğu kuralları almak bu kurallar mutlak doğrular olmayacağı için mümkün değildir. Zaman içinde değişmeyen kurallar neler ise, hayat matematiğinin aksiyomları da bunlar olmalıdır. Bu aksiyomların neler olduğunu bulma gâyreti, insan olmanın en mühim faziletlerinden biridir.



Bu bölüm 5894 defa görüntülenmiştir.